ОТРИЦАНИЕ, КОНЪЮНКЦИЯ, ДИЗЪЮНКЦИЯ
Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.
Высказывание - более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на части, мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».
Непредвиденность - это сочетание тавтологии и противоречия. Квантификаторы - это символы, которые используются в математике для выражения определенных условий. Среди них мы имеем квантор квантов универсальности и экзистенциального квантора. Роль кванторов важна, поскольку открытый оператор, которому предшествует квантификатор, становится ложным или истинным предложением. пример.
Универсальный квантификатор указывает, что то, что написано справа, истинно для любого значения переменной, которая сопровождает его. пример. Рауль - студент 4-го. год средней школы. Рассуждение - это процесс вывода выводов из предположений или фактов. Правильное рассуждение - это то, в котором выводы обязательно или неизбежно следуют предположениям или фактам.
Понятие высказывания - одно из ключевых в логике. Как таковое, оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных её разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает определённую ситуацию, что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.
Высказывание считается истинным , если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным , если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания.
Индуктивный метод - это метод, который использует наблюдение отдельных случаев, чтобы прийти к общему выводу. Эта часть конкретного для общего, от простого до полного, от простого до сложного. Примеры. Яблоко - это плод и здорово. Манго - это плод и он здоров.
Кошка - животное и дышит. Голубь - животное и дышит. Роза Доминиканская и гордая. Гектор Доминикан и горд. Все доминиканцы гордятся. Дедуктивный метод - это метод, который начинается с общих данных, принятых как действительных, чтобы прийти к выводу определенного типа.
Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Так, из высказываний «Дует ветер» и «Идёт дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дует ветер и идёт дождь», «Либо дует ветер, либо идёт дождь», «Если идёт дождь, дует ветер» и т.п. Слова «и», «либо, либо», «если, то» и т.п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками.
Но кроме того, эта важная дисциплина также служит нам для процесса написания и аргументации. Если целью пропозициональной или символической логики является научиться рассуждать, то ее методы могут способствовать улучшению и совершенствованию аргументирующих текстов, формулировать гипотезы, позволяющие получить обоснованные выводы.
Сила пропозициональной логики заключается в том, что она не оставляет никакого смысла в случайной или индивидуальной интерпретации, объясняет Карл Дж. Смит и, несмотря на некоторые ограничения, его знание является мощным инструментом для написания и составления аргументированных текстов.
Высказывание называется простым , если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.
Высказывание является сложным , если оно получено с помощью логических связок из нескольких более простых высказываний.
Может показаться, что знакомство с высказываниями естественнее всего начать с изучения простых высказываний и их частей, и уже затем приступить к изучению того, как из простых высказываний образуются сложные. В логике, однако, подход является обратным. Сначала рассматриваются способы построения сложных высказываний из более простых, при этом простое высказывание берётся как неразложимое далее целое (как «атом»), и только затем переходят к выявлению строения простых высказываний. Анализ структуры сложных высказываний предшествует анализу структуры простых. Объясняется это следующим: для того, чтобы понимать способы сочетания высказываний, вовсе не обязательно знать, что такое простое высказывание; достаточно учитывать только то, что последнее имеет определённое значение истинности. Простые высказывания чрезвычайно разнообразны, выявление составляющих их частей во многом зависит от принятого способа их анализа. Некоторые логические связи между высказываниями не зависят от строения простых высказываний. Разумно поэтому поступить так, как если бы мы знали все о простых высказываниях, т.е. оставить вопрос об их структуре на время в стороне и заняться логическими связями высказываний. Последняя задача является относительно лёгкой.
С другой стороны, предложение - это любое выражение, которое имеет полный смысл и может быть истинным или нет. Предложение может иметь полный смысл, но не обязательно может быть назначено значение правды или ложности, например вопрос или междометие. Вопросительные, увещающие или императивные предложения, умозрительные и восклицательные предложения не являются предложениями, потому что ни один из них не подтверждает или не отрицает что-то, и поэтому они не являются истинными или ложными. Точно так же сомнительные предложения, а также оценочные суждения - несмотря ни на что - не являются примерами предложений, поскольку их истина или ложность не могут быть установлены, по крайней мере, в символической логике.
Та часть логики, в которой описываются логические связи высказываний, не зависящие от структуры простых высказываний, называется общей теорией дедукции.
Перейдём теперь к рассмотрению наиболее важных способов построения сложных высказываний.
Отрицание - логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое, причём, если исходное высказывание истинно, его отрицание будет ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 - чётное число» является высказывание «10 не есть чётное число» (или: «Неверно, что 10 есть чётное число»).
Ценностные суждения относятся к области этики и права, для которой разработана логическая логика, среди других смежных дисциплин. В пропозициональной логике мы рассматриваем, помимо истинных и ложных предложений, так называемые нечеткие или открытые суждения, значение истинности которых зависит от подстановки переменных, как объясняет Карл Дж.
Соединения и другие логические соединения. В символической или пропозициональной логике различные типы связок используются для формирования сложных предложений. Простые или атомные утверждения, такие как «Дети», эквивалентны простым предложениям в грамматике. Предложения, объединенные конъюнктурой конъюнкции и дизъюнкции, синтаксически эквивалентны работе с составными предложениями, такими как «Бегство детей» и «собачьи лавы». Критерий истины суждения зависит от истины и ложности его простых выражений.
Будем обозначать высказывания буквами А, В, С, … , отрицание высказывания - символом ~. Полный смысл понятия отрицания высказывания задаётся условием: если высказывание Л истинно, его отрицание А ложно, и если А ложно, его отрицание, ~А, истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» ложно, а так как «1 есть простое число» ложно, его отрицание «1 не есть простое число» истинно.
В логике предложения обычного языка переводятся в их символическую форму, упрощая их, а затем переводятся на обычный язык. Пропозициональную логику можно взять в качестве ссылки при написании текста, а затем освободить нас до выразительной силы, которую может развивать каждый человек, потому что естественный язык, и особенно литературный, имеет гораздо больше свобод, чем логично - математики.
Важнейшим вкладом Логики в развитие компетенции письма на первом этапе является развитие привычки выражать наши идеи в простых и сжатых терминах, как утверждения или гипотезы, из которых мы можем сделать выводы. Оба предложения могут быть выражены как.
Определению отрицания можно придать форму таблицы истинности , в которой «и» означает «истинно» и «л» - «ложно».
В результате соединения двух высказываний при помощи слова «и», мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и» получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».
Книги являются источником знаний, и чтение развивает интеллект. В следующей таблице приведен пример, здесь представлена ценность истины и ценность ложности. Предложение, соединенное связью дизъюнкции, истинно, когда хотя бы одно из его положений истинно. Следующий пример и соответствующая таблица истинности показывают, что когда хотя бы один из его компонентов является истинным, утверждение истинно, а когда оба являются ложными, предложение ложно.
Вы находитесь в Никарагуа или находитесь в Соединенных Штатах. Важно, однако, подчеркнуть, что соединение дизъюнкции имеет два приложения: его инклюзивное и исключительное использование. Это исключение означает, что любое предложение может быть истинным, но не тем и другим.
Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в неё высказывания являются истинными ; если хотя бы один из её членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.
Высказывание А может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о высказывании В. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих высказываний.
В следующем разделе мы рассмотрим условные и другие логические связки, имеющие большое значение для их использования в повседневной жизни. Глубокие знания Вебера материи, и это будет увидеть в течение недели, чтобы прибыть. И если кто-то говорит: «С Новым годом», будет то, что это является истинным или ложным суждением? Нет, потому что это не приговор, к которому вы можете присвоить логическое значение. Только те первые - повествовательные предложения-которые могут быть немедленно признаны как истинные или ложные. Обычно предложения представлены строчными буквами. Есть ли предложение, которое может одновременно быть истинным и ложным? Из предложений можно сказать, простыми или сложными. Нет ничего проще понять. Примеры: Джон врач и стоматолог Педро. Мария ходит в кино или Пол собирается в цирк. Или Луи Баия, или калифорнийский. Как оказалось логическое значение конъюнктивного предложения? Это таблица истинности, легко построить и легко понять. Вернемся к нашим предпосылках: р = Марк врач и д = Мария является студентом. Если мы оба истинны, то комбинация из них образовали также верно. Информация в третьем столбце должна быть сохранена в нашей памяти: соединение будет истинным только тогда, когда обе части верны. Она поймет, что обещание для двух подарков. Если панель не дает ни подарка, ни только дает, обещание не было выполнено. Однако обещание будет истинным, если обе стороны верны! Когда дело доходит до формирования таблицы истинности для двух компонентных предложений, мы будем знать заранее, что эта таблица будет иметь четыре строки. Символически, мы будем представлять этот соединительный элемент на ∨. Смогу ли мы создать таблицу истинности для дизъюнктивного предложения? Вспомним обещание отца сыну! Выиграв только одну из них, обещание отца уже стоит того! Что, если отец богат и решает дать оба подарка? Обещание было более чем выполнено. Вся дизъюнкция будет ложной. Следовательно, мы заключаем: дизъюнкция будет ложной, когда две составляющие ее части являются ложными! И во всех остальных случаях дизъюнкция будет правдой! Изменяется только третий столбец, который теперь представляет собой «или», дизъюнкцию. Обратите внимание, что в первом предложении легко видеть, что если первая часть верна, это не помешает второй части быть истинной. И наоборот, то есть, если это правда, что «я буду кататься на велосипеде», тогда нам не будет дан мяч. То есть, вторая структура представляет две взаимоисключающие ситуации, так что только одна из них может быть истинна, а остальная обязательно будет ложной. Оба никогда не могут быть истинными одновременно; оба никогда не могут быть ложными. Следовательно, полное название этого составного предложения является исключительной дизъюнкцией. И как ваша таблица истины? Теперь исключительная дизъюнкция справедлива только в том случае, если она подчиняется взаимному исключению предложений. Говоря проще: это будет только так, если есть одно истинное предложение, а другое ложное. Во всех остальных случаях исключительная дизъюнкция будет ложной. Многим трудно понять, как работает этот тип предложений. Чтобы облегчить наше понимание, мы должны работать со следующим предложением. Теперь ответьте мне: как же это неверно? Посмотрите на эти слова: достаточно и необходимо. Достаточное условие дает необходимый результат. У нас будет: «Петр, являющийся богатым, является достаточным условием для того, чтобы Мария была врачом» - это то же самое, что: «Если Петр богат, тогда Мария - врач». С другой стороны, если кто-то скажет, что: Мария, являющаяся врачом, является необходимым условием для Петра богатым, мы можем также перевести его по-другому: «Мария, являющаяся врачом, является необходимым условием для того, чтобы Петр был богат» - это то же самое, что: «Если Петр богат, тогда Мария - врач». Знание о том, как переводить слова и необходимые для целей условного предложения, уже были необходимы в тендерных вопросах. Мы не можем этого забыть: достаточное условие дает необходимый результат. Как наша таблица истинности станет, в случае условного предложения? Мы будем думать здесь в виде исключения: только эта структура будет ложной, когда есть достаточное условие, но нужный результат не подтверждается. То есть, когда первая часть верна, а вторая часть ложна. Следовательно, условное предложение: «Если идет дождь, то холодно»можно также сказать о следующих путях: если идет дождь, холодно. Дождя достаточно, чтобы было холодно. Охлаждение - необходимое условие дождя. Это простое в понимании предложение. Если кто-то скажет: «Эдуардо счастлив, если и только если Мариана улыбнется». Это то же самое, что и соединение двух условных предложений: «Эдуардо счастлив, только если Мариана улыбается, а Мариана улыбается, только если Эдуардо счастлив». Или, по-другому: «Если Эдуардо счастлив, тогда Мариана улыбается, и если Мариана улыбается, тогда Эдуардо счастлив». Мы увидим что-то очень важное: отрицающее один предложение. В случае простого предложения это не может быть проще: просто поставьте слово перед предложением, и мы уже сделали его отрицательным. Отрицательный: Мария не студент. Таким образом, таблица отрицания отрицания более упрощена, чем другие, которые уже видели. Следовательно, следующие фразы эквивалентны: логика не проста. Это неправда, что логика проста. Неверно, что логика проста. # Отрицательный состав композитного предложения: то, что мы увидим здесь, будет достаточно для ответа на некоторые вопросы конкурса. Мы уже отрицали простое предложение. Но что, если это сложное предложение, как оно? Тогда это будет зависеть от структуры этого предложения. Следовательно, как мы можем отрицать, что «Джон - врач, а Питер - дантист»? Теперь, сравнивая таблицы истинности двух утверждений выше. Во-первых, давайте рассмотрим таблицу истинности. Наконец, мы построим столбец, который является отрицательным от этой третьей. Здесь мы вспомним, как работает сеанс. Дизъюнкция - это структура или. Чтобы быть правдой, достаточно, чтобы одно из предложений также верно. Наконец, сравним полученный столбец этой структуры с тем, что было сохранено в структуре ~. Уже зная это, мы не будем терять время в таблице истинности тестового здания, чтобы знать, как сделать отрицательное соединение! Это упражнение, которое мы сделали выше, сравнивая столбцы - результаты двух таблиц, служило только для объяснения происхождения этой логической эквивалентности. То есть, сказать, является ли это предложение, с логической точки зрения, что эквивалентно другому, просто чтобы сделать сравнение между заполненной таблицы истинности. Возьмите первую часть: ~. Отказ от условного предложения: ~ Это наиболее отрицательно заряженные в гонке! Как вы отрицаете условный? Таким образом, мы имеем дело с отрицанием! А что следует за этим отказ? Таким образом, мы будем помнить, что мы узнали: отрицать условный, мы будем держать первую часть, и мы будем отрицать вторые. То есть, начать с отказом! Сейчас мы узнаем, есть немного отрицая дизъюнкцию, мы придем к конъюнкции, и наоборот. Мы ищем первую часть, которая составляет ~. Есть еще целый ряд из них можно объяснить вне, каким будет следующий класс. Назад также говорить в таблице-Истине, и делать много упражнений с ними! Поэтому важно, что вы читали и перечитывали все, что видели здесь сегодня. И не забудьте попробовать делать домашние вопросы.
Обозначим конъюнкцию символом &. Таблица истинности для конъюнкции приведена ниже.
Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:
1) каждое высказывание (как простое, так и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным;
2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.
Эти предположения кажутся простыми. Приняв их, нужно, однако, отбросить идею, что, наряду с истинными и ложными высказываниями, могут существовать также высказывания неопределённые с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, «Через пять лет в это время будет идти дождь с громом» и т.п.). Нужно отказаться также от того, что истинностное значение сложного высказывания зависит от «связи по смыслу» соединяемых высказываний.
В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шёл в пальто и я шёл в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания «2 - простое число» и «Москва - большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 - простое число и Москва - большой город», поскольку составляющие её высказывания не связаны между собою по смыслу.
Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.
Соединяя два высказывания с помощью слова «или», мы получаем дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются членами дизъюнкции.
Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на „Пиковую даму“ или на „Аиду“» допускает возможность двукратного посещения оперы. В высказывании же «Он учится в Московском или в Саратовском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.
Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает только, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем , смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из них истинно, а второе - ложно.
Символ v будет обозначать дизъюнкцию в неисключающем смысле, для дизъюнкции в исключающем смысле будет использоваться символ V. Таблицы для двух видов дизъюнкции показывают, что неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в неё высказываний истинно , и ложна, только когда оба её члена ложны; исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из её членов , и она ложна, когда оба её члена истинны или оба ложны.
В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.
Разложение некоторого высказывания на простые, далее неразложимые части даёт два вида выражений, называемых собственными и несобственными символами. Особенность собственных символов в том, что они имеют какое-то содержание, даже взятые сами по себе. К ним относятся имена (обозначающие некоторые объекты), переменные (отсылающие к какой-то области объектов), высказывания (описывающие какие-то ситуации и являющиеся истинными или ложными). Несобственные символы не имеют самостоятельного содержания, но в сочетании с одним или несколькими собственными символами образуют сложные выражения, уже имеющие самостоятельное содержание. К несобственным символам относятся, в частности, логические связки, используемые для образования сложных высказываний из простых: «… и …», «… или …», «либо …, либо …», «если …, то …», «… тогда и только тогда, когда …», «ни …, ни …», «не …, а …», «…, но не …», «неверно, что …» и т.п. Само по себе слово, скажем «или», не обозначает никакого объекта. Но в совокупности с двумя собственными, обозначающими символами это слово даёт новый обозначающий символ: из двух высказываний «Письмо получено» и «Телеграмма отправлена» - новое высказывание «Письмо получено или телеграмма отправлена».
Конъюнкция 1 – это суждение , полученное из любых двух других суждений посредством логического союза «и» .
Пример. Если суждения «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и», получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».
Конъюнкция истинна только в случае , когда оба входящих в нее суждения являются истинными .
Если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.
Суждение А может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о суждении В . Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих суждений.
Обозначим конъюнкцию символом «˄». Используется также символ «&». Таблица истинности для конъюнкции такова.
|
А ˄ В |
||
Нестрогая дизъюнкция 2 – это суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «или».
В повседневном языке слово «или» имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.
Итак, дизъюнкция является нестрогой, если ее члены не исключают друг друга.
Пример . Суждение «В этом сезоне я хочу пойти на “Пиковую даму” или на “Аиду”» является нестрогой дизъюнкцией.
Строгая дизъюнкция ‒ это суждение , полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «либо …, либо …» .
Пример . В суждении «Он учится в Московском или в Саратовском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.
Нестрогая дизъюнкция означает, что, по крайней мере, одно из этих суждений истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Строгая дизъюнкция означает, что одно из них истинно, а второе – ложно.
Символ «v» обозначает нестрогую дизъюнкцию, символ «V» – строгую дизъюнкцию. Применяются также другие обозначения.
Нестрогая дизъюнкция истинна , когда хотя бы одно из входящих в нее суждений истинно , и ложна тогда , когда оба ее члена ложны .
Строгая дизъюнкция истинна , когда истинным является только один из ее членов , и она ложна , когда оба ее члена истинны или оба ложны .
Таблица истинности для дизъюнкции такова.
|
A v В |
A V B |
||
Импликация 3 – это суждение , полученное из любых двух суждений посредством логического союза «если …, то …» .
Примеры. «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, то оно делится на 3» и т.п.
Суждение, которому предпослано слово «если», называется основанием , или антецедентом 4 . Суждение, идущее после слова «то», называется следствием , или консеквентом 5 . Антецедент ‒ достаточное условие для консеквента, консеквент – необходимое условие для антецедента.
Логический союз «если..., то...» может выражаться с помощью различных языковых средств.
Пример. «Так как вода ‒ жидкость, она передает давление во все стороны равномерно».
Импликация не предполагает, что суждения А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В суждение «если А, то В» истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.
Не может случиться так , чтобы основание было истинным, а следствие – ложным .
Только когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна.
Примеры . Истинными считаются суждения: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырем», «Если Волга – озеро, то Токио – большой город» и т.п. К истинным относятся, к примеру, высказывания: «Если Солнце – куб, то Земля – треугольник», «Если дважды два равно пяти, то Токио ‒ маленький город» и т.п.
В обычном рассуждении все эти суждения вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.
Будем обозначать импликацию символом «→». Таблица истинности для импликации такова.
|
A → В |
||
