Details 01 February 2017

Господа, всем приветище! Сегодня речь пойдет про энергию конденсаторов . Внимание, сейчас будет спойлер: конденсатор может накапливать в себе энергию. Причем иногда очень большую. Что? Это не спойлер, это и так было всем очевидно? Здорово если так! Тогда поехали в этом более подробно разбираться!

В прошлой статье мы пришли к выводу, что заряженный конденсатор, отсоединенный от источника напряжения, может сам в течении некоторого времени (пока не разрядится) давать некоторый ток. Например, через какой-то резистор. По закону Джоуля-Ленца если через резистор течет ток, то на нем выделяется тепло. Тепло - значит, энергия. И берется эта самая энергия из конденсатора - больше, собственно, неоткуда. Значит, в конденсаторе может хранится некоторая энергия. Итак, физика процессов более-менее понятна, поэтому теперь давайте поговорим, как это все описать математически. Потому что одно дело все описать на словах - это круто, замечательно, это должно быть, но в жизни часто надо что-то рассчитать и тут уже обычных слов не достаточно.

Для начала давайте вспомним определение работы из механики. Работа A силы F это произведение этой самой силы F на вектор перемещения s.

Полагаю, что механику вы изучали когда-то и это знаете . Страшные значки векторов нужны только в случае, если направление силы не совпадает с перемещением: вроде случая, когда сила тянет строго прямо, а перемещение идет под каким-то углом к силе. Такое бывает, например, когда груз перемещается по наклонной плоскости. Если же направление силы и перемещения совпадают, то можно смело отбросить вектора и просто перемножать силу на длину пути, получая таким образом работу:

Вспомним теперь статью про закон Кулона . Мы там получили замечательную формулу, которую сейчас самое время вспомнить:

То есть, если у нас есть электрическое поле с напряженностью Е и мы в него помещаем некоторый заряд q, то на этот заряд будет действовать сила F, которую можно рассчитать по этой формуле.

Нам никто не мешает подставить эту формулу в чуть выше написанную формулу для работы. И таким образом найти работу, которую совершает поле при перемещении в нем заряда q на расстояние s. Будем полагать, что мы перемещаем наш заряд q точно по направлению силовых линий поля. Это позволяет использовать формулу работы без векторов:

Теперь, господа, внимание. Напоминаю одну важную штуку из той же механики. Есть такой особый класс сил, которые называются потенциальные. Если говорить упрощенным языком, то для них верно утверждение, что если эта сила на каком-то отрезке пути совершила работу А , то это значит, что в начале этого пути у тела, над которым совершалась работа, энергия была на это самое А больше, чем в конце. То есть на сколько поработали, на столько и изменилась потенциальная энергия. Работа потенциальных сил не зависит от траектрии и определяется только начальной и конечной точкой. А на замнкнутом пути она вообще равна нулю. Как раз-таки сила электрического поля относится к этому классу сил.

Вот мы помещаем наш зарядик q в поле. Он под действием этого поля перемещается на некоторое расстояние от точки С до точки D. Пусть для определенности в точке D энергия заряда будет равна 0. При этом перемещении поле совершает работу А . Из этого следует, что в начале пути (в точке C) наш зарядик обладал некоторой энергией W=A. То есть, мы можем записать

Теперь самое время рисовать картинки. Взглянем на рисунок 1. Это немного упрощенная иллюстрация физики процессов плоского конденсатора. Более полное мы рассматривали это в прошлый раз .

Рисунок 1 - Плоский конденсатор

Давайте теперь чуть-чуть искривим свое сознание и глянем на наш конденсатор по-другому, чем раньше. Давайте предположим, что у нас за основу взята, например, синяя пластина . Она создает некоторое поле с некоторой напряженностью. Безусловно, и красная пластина тоже создает поле, но в данный момент это не интересно. Давайте смотреть на красную пластину , как на некоторый заряд +q , расположенный в поле синей пластины. И сейчас мы попробуем применить все вышеописанное к красной пластине как будто это и не пластина вовсе, а просто некоторый заряд +q . Вот так вот хитро. Почему, собственно, нет? Возможно, вы скажите - как же так, раньше мы везде исходили из того, что заряды у нас точечные, а тут - целая большая пластина. Она как-то на точку не совсем тянет. Спокойствие, господа. Никто нам не мешает разбить красную пластину на огромную кучу маленьких частичек, каждую из которых можно считать точечным зарядом Δq. Тогда уже можно без проблем применять все вышеописанное . И если мы выполним все расчеты сил, напряженностей, энергий и прочего для вот таких вот отдельных Δq и потом сложим результаты между собой, то получится, что мы зря так переусердствовали - результат будет ровно таким же, как если бы мы просто при расчетах брали заряд +q. Кто хочет - может проверить, я только за . Однако мы будем сразу работать по упрощенной схеме. Хотелось бы только отметить, что это верно для случая, когда поле у нас однородно и заряды по всем пластинам распределены равномерно. В действительности это не всегда так, однако такое упрощение позволяет существенно облегчить все расчеты и избежать всяких градиентов и интегралов без существенного вреда для практики.

Итак, вернемся к рисунку 1. На нем показано, что между обкладками конденсатора существует поле с некоторой напряженностью Е. Но мы договорились сейчас разделить роли обкладок - синяя у нас источник поля, а красная - заряд в поле. Какое же поле создает одна синяя обкладка отдельно от красной? Какова его напряженность? Очевидно, что она в два раза меньше общей напряженности . Почема это так? Да потому, что если забыть про нашу абстракцию (типа красная пластина - и не пластина вовсе, а просто заряд), то в результирующую напряженность Е вносят одинаковый вклад обе обкладки - и красная, и синяя: каждая по Е/2. В результате суммы этих Е/2 как раз и получается та самая Е, которая у нас на картинке. Таким образом (отбрасывая вектора), можно записать

Теперь посчитаем, если можно так выразиться, потенциальную энергию красной обкладки в поле синей обкладки. Заряд мы знаем, напряженность мы знаем, расстояние между обкладками тоже знаем. Поэтому смело записываем

Идем дальше. На деле же никто не мешает поменять местами красную и синюю обкладки. Давайте рассуждать наоборот. Будем рассматривать теперь красную обкладку как источник поля , а синюю - как некоторый заряд -q в этом поле. Думаю, даже без проведения расчета будет очевидно, что результат будет точно такой же. То есть энергия красной пластины в поле синей пластины равна энергии синей пластины в поле красной пластины. И, как вы возможно уже догадались, это и есть энергия конденсатора. Да, вот по этой самой формуле можно произвести расчет энергии заряженного конденсатора:

Слышу, как мне уже кричат: стоп, стоп, опять ты втираешь мне какую-то дичь! Ну ладно, расстояние между пластинами я еще как-то смогу измерить. Но меня почему-то опять заставляют считать заряд, что не понятно как сделать, да еще и напряженность надо знать, а чем я ее померяю?! Мультиметр вроде как не умеет это делать! Все верно, господа, сейчас мы займемся преобразованиями, которые позволят вам измерить энергию конденсатора всего лишь с применением обыкновенного мультиметра.

Давайте сперва избавимся от напряженности. Для этого вспомним замечательную формулу, которая связывает напряженность с напряжение:

Да, напряжение между двумя точками в поле равно произведению напряженности этого поля на расстояние между этими двумя точками. Итак, подставляя это полезнейшее выражение в формулу для энергии, получаем

Уже легче, напряженность ушла. Но остался еще заряд, который не понятно как мерить. Что бы от него избавиться, давайте вспомним формулу емкости конденсатора из предыдущей статьи :

Да, для тех, кто забыл, напоминаю, что емкость определяется как отношение этого злополучного заряда, накопленного конденсатором, к напряжению на конденсаторе. Давайте из этой формулы выразим заряд q и подставим его в формулу энергии конденсатора. Получаем

Вот это уже дельная формула, для энергии заряженного конденсатора! Если нам нужно узнать, какая энергия запасена в конденсаторе с емкостью С, заряженного до напряжения U, мы вполне можем это сделать по вот этой вот формуле. Емкость С обычно пишется на самом конденсаторе или на его упаковке, а напряжение всегда можно измерить мультиметром. Из формулы видно, что энергии в конденсаторе тем больше, чем больше емкость самого конденсатора и напряжение на нем. Причем энергия растет прямо пропорционально квадрату напряжения. Это важно помнить. Увеличение напряжения гораздо быстрее приведет к росту энергии, запасенной в конденсаторе, чем увеличение его емкости.

Для особых любителей зарядов можно из формулы определения емкости выразить не заряд, а напряжение и подставить его в формулу для энергии конденсатора. Таким образом, получаем еще одну формулу энергии

Используется эта формула довольно редко, а на практике вообще не припомню, что б по ней что-то считал, но раз она есть, то путь тут тоже будет для полноты картины. Самая ходовая формула - это средняя.

Давайте для интереса произведем некоторые расчеты. Пусть у нас есть вот такой вот конденсатор

Рисунок 2 - Конденсатор

И давайте мы его зарядим до напряжения, скажем, 8000 В. Какая энергия будет запасена в таком конденсаторе? Как мы видим из фотографии, емкость данного конденсатора составляет 130 мкФ. Теперь легко выполнить расчет энергии:

Много это или мало? Безусловно, не мало! Даже очень не мало! Скажем так, разрешенная энергия электрошокеров составляет какие-то там смешные единицы джоулей, а тут их тысячи! Принимая во внимание высокое напряжение (8кВ) можно смело утверждать, что для человека контакт с таким заряженным конденсатором скорее всего закончится очень и очень печально. Следует соблюдать особую осторожность при больших напряжениях и энергиях! У нас был случай, когда произошло короткое замыкание нескольких таких вот конденсаторов, соединенных параллельно и заряженных до нескольких киловольт. Господа, это было зрелище не для слабонервных! Бабахнуло так, что у меня потом в ушах пол дня звенело! А на стенах лаборатории осела медь от расплавленных проводов! Спешу успокоить, никто не пострадал, но это стало хорошим поводом дополнительно подумать над способами отвода такой гигантской энергии в случае нештатных ситуаций.

Кроме того, господа, важно всегда помнить, что конденсаторы блоков питания приборов тоже не могут мгновенно разрядиться после отключения прибора от сети, хотя там, безусловно, должно быть какие-то цепи, предназначенные для их разряда. Но должны быть, это не значит, что они там точно есть . Поэтому в любом случае после отключения любого прибора от сети, прежде чем лезть к нему внутрь, лучше подождать пару минут для разряда всех кондеров. И потом, после снятия крышки, прежде чем лапками хвататься за все подряд, следует сначала померить напряжение на силовых накопительных конденсаторах и при необходимости выполнить их принудительный разряд каким-нибудь резистором. Можно, конечно, просто отверткой замкнуть их выводы, если емкости не слишком большие, но такое делать крайне не рекомендуется!

Итак, господа, сегодня мы познакомились с различными методами расчета энергии, запасенной в конденсаторе, а также обсудили, как эти расчеты можно выполнять на практике. На этом потихоньку закругляемся. Всем вам удачи, и до новых встреч!

Вступайте в нашу

Принцип устройства простейшего (плоского) конденсатора представлен на рис. 1.

Рис. 1. Принцип устройства плоского конденсатора.

1 обкладки,
2 диэлектрик

Емкость такого конденсатора определяется известной формулой

Определяется формулой

Если использовать обкладки из фольги и многослойный пленочный диэлектрик, то можно изготовить конденсаторы рулонного типа, у которых удельная аккумулирующая способность находится приблизительно в пределах от 0,1 J/kg до 1 J/kg или от 0,03 mWh/kg до 0,3 mWh/kg. Из-за малой удельной аккумулирующей способности конденсаторы такого вида не подходят для длительного сохранения существенного количества энергии, но они широко применяются как источники реактивной мощности в цепях переменного тока и как емкостные сопротивления.

Значительно более эффективно энергия может аккумулироваться в электролитических конденсаторах , принцип устройства которых изображен на рис. 2.

Рис. 2. .

1 металлический лист или фольга (алюминий, тантал или др.),
2 диэлектрик из окиси металла (Al2O3 , Ta2O5 или др.),
3 бумага и т. п., пропитанная электролитом (H3BO3 , H2SO4 , MnO2 или др.) и глицерином

Так как толщина слоя диэлектрика в этом случае обычно остается в пределах 0,1 µm, то эти конденсаторы могут изготовляться с очень большой емкостью (до 1 F), но на относительно малое напряжение (обычно на несколько вольт).

Еще большую емкость могут иметь ультраконденсаторы (супер-конденсаторы, ионисторы) , обкладками которых служит двойной электрический слой толщиной в несколько десятых долей нанометра на границе раздела электрода, изготовленного из микропористого графита, и электролита (рис. 3).

Рис. 3. .

1 электроды из микропористого графита,
2 электролит

Эффективная площадь обкладок таких конденсаторов достигает, благодаря пористости, до 10 000 m2 на каждый грамм массы электродов, что позволяет достигать очень большой емкости при очень малых размерах конденсатора. В настоящее время ультраконденсаторы выпускаются на напряжение до 2,7 V и емкостью до 3 kF. Их удельная аккумулирующая способность находится обычно в пределах от 0,5 Wh/kg до 50 Wh/kg и имеются опытные образцы с удельной аккумулирующей способностью до 300 Wh/kg.

Технология изготовления ультраконденсаторов весьма сложна, и стоимость на единицу сохраняемой в них энергии поэтому намного выше, чем у других конденсаторов, доходя до 50 000 ?/kWh. Несмотря на это, благодаря простоте конструкции, малым размерам, надежности, высокому кпд (95 % и более) и долговечности (несколько миллионов циклов заряда-разряда), они стали применяться как в транспортных средствах, так и в промышленных силовых установках взамен электрохимических аккумуляторов и других средств аккумулирования энергии. Особо выгодны они тогда, когда энергия потребляется в виде коротких импульсов (например, для питания стартера двигателей внутреннего сгорания) или когда требуется быстрая (секундная) зарядка аккумулирующего устройства. Например, в 2005 году в Шанхае началась опытная эксплуатация ультраконденсаторных автобусов, батарея конденсаторов которых заряжается во время стоянки автобуса на каждой остановке.

Старейшим конденсатором и заодно старейшим аккумулятором электрической энергии могут считаться янтарные предметы, электризацию которых при трении шерстяной тканью обнаружил греческий философ Фалес приблизительно в 590 году д. р. Х. Он же назвал это явление электронным (от греческого слова электрон, ‘янтарь’). Первые электростатические генераторы, изобретенные в 17-ом веке, тоже представляли собой шаровые или цилиндрические конденсаторы, на поверхности которых мог накапливаться электрический заряд, достаточный для вызывания разрядных явлений. Первым настоящим конденсатором считается все же усилительная склянка, изобретенная 11 октября 1745 года в ходе опытов по электризации воды физиком-любителем, деканом Камминского (Cammin) кафедрального собора Эвальдом Юргеном фон Клейстом (Ewald Jurgen von Kleist, 1700–1748) (рис. 4);

Рис. 4. Конденсатор Эвальда Юргена фон Клейста.

1 склянка, наполненная водой,
2 гвоздь, образующий вместе с водой верхнюю обкладку,
3 провод к электростатическому генератору,
4 металлическая тарелка (нижняя обкладка).
U напряжение

У этого прибора можно четко различить две обкладки и диэлектрик между ними. Первый плоский конденсатор изготовил в 1747 году лондонский врач Джон Бэвис (John Bevis, 1693–1771), а сам термин конденсатор (ит. condensatore, ‘сгущать‘) ввел в 1782 году профессор экспериментальной физики университета Павии (Pavia, Италия) Алессандро Вольта (Alessandro Volta, 1745–1827). Первые электролитические конденсаторы разработал в 1853 году заведующий Кенигсбергским физиологическим институтом (Konigsberg, Германия) Герман фон Гельмгольц (Hermann von Helmholtz, 1821–1894), а первый ультраконденсатор с электродами из пористого графита представил на патентование в 1954 году научный сотрудник электротехнического концерна Дженерал Электрик (General Electric, США) Говард Беккер (Howard I. Becker). Практическое применение ультраконденсаторов стало быстро развиваться в первые годы 21-го века.

В заряженном конденсаторе накоплена (аккумулирована) электрическая энергия. Эта энергия конденсатора равна работе, необходимой для зарядки конденсатора.
Процесс зарядки конденсатора состоит, по сути, в том, что заряд с одной пластины переносится на другую. Именно это совершает источник напряжения, когда его подключают к конденсатору. Сначала, когда конденсатор не заряжен, для переноса первой порции заряда не требуется работы.
Но когда на каждой из пластин уже имеется заряд, для пополнения его приходится совершать работу против сил электрического отталкивания. Чем больше накопленный пластинами заряд, тем большую работу, необходимо совершить для его увеличения. Если на пластинах существует разность потенциалов V , работа по переносу элемента заряда dq равна dW = V dq . Поскольку V= q/C , где С - емкость конденсатора, тогда работа по его заряду составит:

Итак, мы можем сказать, что энергия, запасенная, или аккумулированная, конденсатором, равна

если заряды обкладок конденсатора емкостью С равны соответственно +Q и -Q . А так как Q = СV , где V - разность потенциалов между обкладками, мы можем написать

Пример 25.5 . Конденсатор емкостью 20 мкФ подключен к батарее напряжением 12 В. Какую энергию может запасти конденсатор?

Решение . Согласно (25.5),

Энергия не является «вещественной субстанцией», поэтому она вовсе не должна быть где-то сосредоточена. Тем не менее принято считать, что она запасена электрическим полем между пластинами.
Для примера выразим энергию плоского конденсатора через напряженность электрического поля. Мы показали [см. (24.3)], что между параллельными пластинами существует приблизительно однородное электрическое поле Е и его напряженность связана с разностью потенциалов соотношением V = Ed , где d - расстояние между пластинами.
Кроме того, согласно (25.2), емкость плоского конденсатора равна С = s 0 A/d . Тогда

Произведение Ad характеризует объем, занимаемый электрическим полем Е . Разделив обе части формулы на объем, получим выражение для энергии, запасенной в единице объема, или плотности энергии u :

Плотность электростатической энергии, запасенной в любой части пространства, пропорциональна квадрату напряженности электрического поля в этой области .

Выражение (25.6) получено для частного случая плоского конденсатора. Можно показать, однако, что оно справедливо для любой области пространства, в которой существует электрическое поле.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Рассмотрим конденсатор емкостью С, с разностью потенциалов ф12между пластинами. Зарядфравен Сф13. На одной пластине имеет­ся заряд Q, а на другой - Q. У в е л и ч и м заряд от Q до Q rdQ, пере­неся положительный заряд dQ с отрицательно заряженной пластины на положительную, т. е. произведя работу против разности потенци­алов ф12. Затраченная работа равна dW=(fi2dQ=QdQ;C. Следова­тельно, для того чтобы зарядить незаряженный конденсатор неко­торым конечным зарядом QK, требуется затратить работу

Это и есть энергия, «запасенная» в конденсаторе. Ее можно также выразить уравнением

U = Сф12/2. (21)

Емкость плоского конденсатора с площадью пластин А и зазором s равна C=A!4ns, а электрическое поле E=(p12/s. Следовательно, уравнение (21) эквивалентно также выражению

Это выражение согласуется с общей формулой (2.36) для энергии, запасенной в электрическом поле *).

*) Все вышесказанное относится к «воздушным конденсаторам», выпол­ненным из проводников, между которыми находится воздух. Как вам извест­но из лабораторных работ, большинство конденсаторов, применяемых в элек­трических контурах, заполнено изоляторами или «диэлектриками». Мы будем изучать свойства таких конденсаторов в гл. 9.

Было бы ошибочным создать впечатление, что не существует общих методов решения граничной задачи для уравнения Лапласа. Не имея возможности подробно рассмотреть этот вопрос, мы укажем на три полезные и интересные метода, с которыми вы встретитесь при дальнейшем изучении физики или прикладной математики. Первый метод - это элегантный метод анализа, называемый конформным отображением; он основан на теории функций комплексного пере­менного. К сожалению, его можно применять только к двумерной системе. Существуют системы, в которых ср зависит только от х и у, например, случай, когда все поверхности проводников расположены параллельно оси 2. Тогда уравнение Лапласа принимает вид

с граничными условиями, заданными на некоторых линиях или кри­вых в плоскости ху. В практике встречается много таких систем, или подобных им, поэтому метод, помимо математического интереса, является практически полезным. Например, точное решение для по­тенциала вблизи двух длинных парал­лельных полос легко получить мето­дом конформного отображения. Сило­вые линии и эквипотенциальные поверхности изображены в попереч­ном сечении па рис. 3.16. Рисунок дает нам представление о краевом эффекте поля плоских конденсаторов, длина которых велика по сравнению с расстоянием между пластинами. Поле, изображенное на рис. 3.11, б, было построено на основании такого решения. Вы сможете пользоваться этим методом после того, как более глубоко изучите функции комплек­сного переменного.

Вторым методом является числен­ное определение приближенных реше­ний задачи об электростатическом потенциале при заданных граничных

условиях. Этот очень простой и почти универсальный метод основан на свойстве гармонических функций, с которым вы уже знакомы: значение функции в точке равно ее среднему значению по окрестности этой точки. В этом методе потенциальная функция <р представлена только значениями ряда дискретных точек, включая дискретные точки на границах. Значения функции в точках, не лежащих на границах, подбираются до тех пор, пока каждое из них

Рис. 3.16. Силовые линии и эквипо­тенциальные поверхности для двух бесконечно длинных проводящих полос.

не будет равно среднему из соседних значений. В принципе это мож­но сделать, решая одновременно большое количество уравнений, равное числу внутренних точек. Но приближенное решение можно получить гораздо проще, систематически изменяя каждое значение, чтобы приблизить его к среднему из соседних значений, и повторяя этот процесс до тех пор, пока изменения не станут пренебрежимо малыми. Этот метод носит название метода релаксации. Единствен­ным препятствием к применению этого метода является трудоем­кость процесса вычисления, но теперь это препятствие устранено, так как расчет производится быстродействующими вычислительными машинами, которые идеально подходят для этого метода. Если вам это интересно, обратитесь к задачам 3.29 и 3.30.

Третьим методом приближенного решения краевой задачи яв­ляется вариационный метод. Он основан на принципе, который встречается во многих разделах физики, от ньютоновской динамики до оптики и квантовой механики. В электростатике этот принцип выражается в следующей форме: нам уже известно, что полная энер­гия электростатического поля дается выражением

Если вы решили задачу 2.19, то знаете, что в этом очень простом случае заряд на проводящей поверхности с постоянным потенциалом (состоящей из двух сфер, связанных проводом) распределен таким образом, чтобы энергия, запасенная во всем поле,была минималь­ной. Это общее правило. В любой системе проводников, при раз­личных фиксированных значениях потенциалов, заряд распреде­ляется по каждому проводнику таким образом, чтобы значение энер­гии, запасенной в поле, стало минимальным. Это становится почти очевидным, если указать, что любое уменьшение полной энергии по­ля связано с совершением работы перераспределения заряда *). Плоская поверхность воды в сосуде имеет то же объяснение.

Рассмотрим теперь потенциальную функцию q>(x, у, г) в некото­рой области, заключающей в себе несколько граничных поверхно­стей с заданными потенциалами. Точное значение функции ф(х, у,г), т. е. решение уравнения У2ф = 0, удовлетворяющее заданным потен­циалам на границах, отличается от всех других функций, удовлетво­ряющих граничным условиям, но не удовлетворяющих уравнению Лапласа, например от 1|з(лг, у, z), так как запасенная энергия для ф меньше, чем для г|э. Выразим энергию через ф, как в уравнении (2.38):

*) Рассуждая таким образом, мы считаем, что течение заряда сопровождается некоторым рассеянием энергии. Это так обычно и бывает. В противном случае система, не находящаяся вначале в состоянии равновесия, не могла бы придти в это состояние, избавившись от лишней энергии. Как вы думаете, что произошло бы в этом случае?

Теперь мы можем поставить граничную задачу по-новому, не упоминая о лапласиане. Потенциальная функция - это та функция, которая минимизирует интеграл уравнения (25) по сравнению со всеми другими функциями, удовлетворяющими тем же граничным условиям. Следовательно, возможным методом получения прибли­женного решения данной краевой задачи является испытание боль­шого количества функций, имеющих заданные граничные значения, и последующий выбор той функции, которая обеспечивает минималь­ное значение U. Можно также взять функцию с одним или двумя переменными параметрами и использовать эти математические «кнопки» для минимизации U. Этот метод особенно удобен для опре­деления самой энергии, часто наиболее важной неизвестной величи­ны. Поскольку энергия U минимальна для точного значения ф, то она мало чувствительна к отклонениям от этого значения. Задача 3.32 иллюстрирует простоту и точность вариационного метода.

Вариационный принцип представляет собой альтернатив­ную формулировку основного закона электростатического поля, и это для нас более существенно, чем польза, которую он при­носит при вычислениях. Известно, что формулировка физических законов в виде вариационных принципов часто весьма плодотворна. Профессор Р. П. Фейнман, известный своими блестящими работами в этой области, дал живое и элементарное изложение вариационных идей в книге «Фейнмановские лекции по физике» (см. т. 6, гл. 19).