"प्राचीन" इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों पर आधारित आधुनिक कंप्यूटर संचालन के बुनियादी सिद्धांतों के रूप में कुछ अभिधारणाओं पर भरोसा करते हैं। उन्हें तर्क बीजगणित के नियम कहा जाता है। प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक अरस्तू द्वारा पहली बार इस तरह के अनुशासन का वर्णन किया गया था (बेशक, इसके आधुनिक रूप में उतना विस्तार से नहीं)।
गणित की एक अलग शाखा के रूप में, जिसके ढांचे के भीतर प्रस्तावक कलन का अध्ययन किया जाता है, तर्क के बीजगणित में कई स्पष्ट रूप से संरचित निष्कर्ष और निष्कर्ष होते हैं।
विषय को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम उन अवधारणाओं का विश्लेषण करेंगे जो तर्क के बीजगणित के नियमों को और सीखने में मदद करेंगे।
शायद अध्ययन किए गए अनुशासन में मुख्य शब्द एक बयान है। यह एक प्रकार का कथन है जो असत्य और सत्य दोनों नहीं हो सकता। उसके पास हमेशा इनमें से केवल एक विशेषता होती है। इस मामले में, यह पारंपरिक रूप से स्वीकार किया जाता है कि सत्य को मान 1, असत्य - 0 दिया जाता है, और कथन को ही एक निश्चित A, B, C कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, सूत्र A = 1 का अर्थ है कि कथन A सत्य है। आप विभिन्न तरीकों से बयानों से निपट सकते हैं। आइए संक्षेप में उन कार्यों पर विचार करें जो आप उनके साथ कर सकते हैं। हम यह भी ध्यान दें कि तर्क के बीजगणित के नियमों को इन नियमों को जाने बिना नहीं सीखा जा सकता है।
1. वियोजनदो कथन - ऑपरेशन "या" का परिणाम। यह या तो झूठा या सच हो सकता है। प्रतीक "वी" का प्रयोग किया जाता है।
2. संयोजन।दो कथनों के साथ की गई ऐसी कार्रवाई का परिणाम केवल तभी नया होगा जब दोनों मूल कथन सत्य हों। ऑपरेशन "और" का उपयोग किया जाता है, प्रतीक "^"।
3. निहितार्थ।ऑपरेशन "अगर ए, तो बी"। परिणाम एक कथन है जो केवल तभी गलत है जब A सत्य है और B. प्रतीक "->" का उपयोग किया जाता है।
4. तुल्यता।ऑपरेशन "ए अगर और केवल अगर बी कब"। यह कथन तब सत्य होता है जब दोनों चरों का अंक समान होता है। प्रतीक "<->».
निहितार्थ के करीब कई ऑपरेशन भी हैं, लेकिन इस लेख में उन पर विचार नहीं किया जाएगा।
आइए अब हम तर्क के बीजगणित के मूल नियमों पर विस्तार से विचार करें:
1. कम्यूटेटिव या विस्थापन बताता है कि संयोजन या संयोजन संचालन में तार्किक शब्दों के स्थान में परिवर्तन परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
२. संयुक्त या साहचर्य। इस कानून के अनुसार, संयोजन या विच्छेदन संचालन में चर को समूहों में जोड़ा जा सकता है।
3. वितरण या वितरण। कानून का सार यह है कि समीकरणों में समान चर को तर्क को बदले बिना कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है।
4. डी मॉर्गन का नियम (उलटा या निषेध)। संयोजन संक्रिया का निषेध मूल चरों के निषेधन के विघटन के बराबर है। विच्छेदन का निषेध, बदले में, समान चरों के निषेधन के संयोजन के बराबर होता है।
5. दोहरा निषेध। किसी कथन को दो बार अस्वीकार करने का परिणाम मूल कथन में होता है, तीन बार उसका निषेध।
6. तार्किक जोड़ के लिए निष्क्रियता का नियम इस तरह दिखता है: x v x v x v x = x; गुणन के लिए: x ^ x ^ x ^ = x।
7. गैर-विरोधाभास का नियम कहता है: दो कथन, यदि वे विरोधाभासी हैं, एक ही समय में सत्य नहीं हो सकते।
8. तीसरे बहिष्करण का कानून। दो परस्पर विरोधी कथनों में से एक हमेशा सत्य होता है, दूसरा असत्य होता है, तीसरा नहीं दिया जाता है।
9. तार्किक जोड़ के लिए अवशोषण नियम इस तरह लिखा जा सकता है: x v (x ^ y) = x, गुणन के लिए: x ^ (x v y) = x।
10. ग्लूइंग का नियम। दो आसन्न संयोजन एक साथ रहने में सक्षम हैं, जो निम्न रैंक के संयोजन का निर्माण करते हैं। इस मामले में, वेरिएबल जिसके द्वारा मूल संयोजनों को एक साथ चिपकाया गया था, गायब हो जाता है। तार्किक जोड़ के लिए उदाहरण:
(एक्स ^ वाई) वी (-एक्स ^ वाई) = वाई।
हमने तर्क के बीजगणित के केवल सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कानूनों पर विचार किया है, जो वास्तव में कई और हो सकते हैं, क्योंकि अक्सर तार्किक समीकरण एक लंबा और अलंकृत रूप लेते हैं, जिसे कई समान कानूनों को लागू करके छोटा किया जा सकता है।
एक नियम के रूप में, परिणामों की गणना और पहचान की सुविधा के लिए विशेष तालिकाओं का उपयोग किया जाता है। तर्क के बीजगणित के सभी मौजूदा नियम, तालिका जिसके लिए एक ग्रिड आयत की सामान्य संरचना है, प्रत्येक चर को एक अलग सेल में वितरित करके चित्रित किया गया है। समीकरण जितना बड़ा होगा, तालिकाओं का उपयोग करके उससे निपटना उतना ही आसान होगा।
कार्यों को बदलने के लिए, तार्किक समस्याओं की शर्तों की औपचारिकता में प्राप्त सूत्रों को सरल बनाने के लिए, तर्क के बीजगणित में, बुनियादी तार्किक कानूनों के आधार पर समकक्ष परिवर्तन किए जाते हैं। इनमें से कुछ कानून उसी तरह तैयार और लिखे गए हैं जैसे अंकगणित और बीजगणित में समान कानून, अन्य असामान्य दिखते हैं।
तर्क के बीजगणित के नियमों को कभी-कभी कहा जाता है प्रमेयों.
प्रस्तावक बीजगणित में, तार्किक नियमों को समतुल्य सूत्रों की समानता के रूप में व्यक्त किया जाता है।
लिखित कानून के बाएँ और दाएँ पक्षों के लिए सत्य तालिकाएँ बनाकर सभी कानूनों की वैधता को सत्यापित किया जा सकता है। बीजगणित के नियमों का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाने के बाद, सत्य सारणियाँ मेल खाती हैं।
ट्रुथ टेबल टूलकिट का उपयोग करके कुछ कानूनों की निष्पक्षता को साबित किया जा सकता है।
चित्र 1।
चित्र तीन।
आइए तर्क बीजगणित के मूल नियमों का उपयोग करके मूल अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
चित्रा 4.
(डी मॉर्गन का नियम, और के लिए वितरण कानून, निष्क्रियता कानून, इसके व्युत्क्रम के साथ एक चर का संचालन)।
तालिका से पता चलता है कि चर $ x $ और $ y $ के सभी सेटों के लिए, चित्र 2 में सूत्र $ 1 $ मान लेता है, अर्थात यह समान रूप से सत्य है।
चित्र 6.
यह तालिका से देखा जा सकता है कि प्रारंभिक अभिव्यक्ति चर $ x $ और $ y $ के संगत मानों पर सरलीकृत अभिव्यक्ति के समान मान लेती है।
आइए हम तर्क के बीजगणित के मूल नियमों को लागू करके चित्र 5 में दिए गए व्यंजक को सरल बनाएं।
चित्र 7.
(डी मॉर्गन का नियम, अवशोषण कानून, I के लिए वितरण कानून)।
चित्र 9.
यह तालिका से देखा जा सकता है कि चर $ x $ और $ y $ के सभी सेटों के लिए, चित्र 8 में सूत्र $ 0 $ मान लेता है, अर्थात यह समान रूप से गलत है।
आइए तर्क बीजगणित के नियमों को लागू करके व्यंजक को सरल बनाते हैं:
चित्र 10.
चित्र 12.
(डी मोगन का नियम, वितरणात्मक)।
आइए चित्र 11 में व्यंजक के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:
चित्र 13.
यह तालिका से देखा जा सकता है कि चित्र 11 में अभिव्यक्ति कुछ मामलों में $ 1 $ मान लेती है, और कुछ में - $ 0 $, अर्थात यह निष्पादन योग्य है।
(डी मॉर्गन का नियम, हम कोष्ठक के बाहर सामान्य कारक निकालते हैं, इसके व्युत्क्रम के साथ एक चर के संचालन का नियम)।
(दूसरा कारक दोहराया जाता है, जो निष्क्रियता के कानून का उपयोग करके संभव है; फिर पहले दो और अंतिम दो कारक संयुक्त होते हैं और ग्लूइंग कानून का उपयोग किया जाता है)।
(हम एक सहायक तार्किक कारक पेश करते हैं
तर्क के बीजगणित में ऐसे नियम होते हैं जो अनुपात के रूप में लिखे जाते हैं। तार्किक कानून तार्किक अभिव्यक्तियों के समकक्ष (समतुल्य) परिवर्तन करना संभव बनाते हैं। रूपांतरणों को समतुल्य कहा जाता है यदि परिवर्तन के बाद प्राप्त मूल और तार्किक फ़ंक्शन के वास्तविक मान उनमें शामिल तार्किक चर के किसी भी मान के लिए मेल खाते हैं।
सरलता के लिए, हम दो तार्किक चरों के लिए तर्क बीजगणित के मूल नियम प्रस्तुत करते हैं एतथा वीये कानून अन्य तार्किक चरों पर भी लागू होते हैं।
1. विरोधाभास का नियम:
2. बहिष्कृत तीसरे का कानून:
3. दोहरे निषेध का नियम:
4. मॉर्गन के नियम:
5. दोहराव के नियम: ए और ए = ए; ए वी ए = ए; बी एंड बी = बी; बी वी बी = बी।
6. अवशोषण के नियम: ए? (ए और बी) = ए; ए और (ए? बी) = ए।
7. स्थिरांक के बहिष्करण के नियम: ए? 1 = 1; ए? 0 = ए; ए और 1 = ए; ए और 0 = 0; बी? 1 = 1; बी? 0 = बी; बी और 1 = बी; बी और 0 = 0।
8. ग्लूइंग के नियम:
9. प्रतिवाद का नियम: (ए? बी) = (बी? ए)।
तार्किक चरों के लिए, सामान्य गणितीय नियम भी मान्य हैं। अंकन में आसानी के लिए, हम तीन तार्किक चरों के लिए सामान्य गणितीय नियम प्रस्तुत करते हैं ए, बी और सी:
1. कम्यूटेटिव कानून: ए एंड बी = बी एंड ए; ए? बी = बी? ए।
2. सहयोगी कानून: ए और (बी एंड सी) = (ए और बी) और सी; ए? (बी? सी) = (ए? बी)? सी।
3. वितरण कानून: ए और (बी? सी) = (ए और बी)? (एसी)।
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, तर्क के बीजगणित के नियमों की सहायता से, उन्हें सरल बनाने के लिए तार्किक अभिव्यक्तियों के समकक्ष परिवर्तन करना संभव है। तर्क बीजगणित में, अपनाई गई परंपरा के आधार पर, तार्किक संचालन करने के लिए निम्नलिखित नियम (प्राथमिकताएं) स्थापित किए जाते हैं: कोष्ठक में संचालन पहले किया जाता है, फिर निम्नलिखित क्रम में: उलटा (नकार), संयोजन (&), वियोजन (v), निहितार्थ (?), तुल्यता (?)
आइए एक परिवर्तन करें, उदाहरण के लिए, एक तार्किक कार्य
तर्क के बीजगणित के उपयुक्त नियमों को लागू करना।
तर्क के बीजगणित (बोर्ड पर) के नियमों पर सवाल उठाना।
आइए सबसे महत्वपूर्ण लोगों को सूचीबद्ध करें:
पहला कानूनप्राचीन यूनानी दार्शनिक अरस्तू द्वारा तैयार किया गया। पहचान का नियम यह दावा करता है कि एक निश्चित कथन में निहित विचार पूरे तर्क में अपरिवर्तित रहता है जिसमें यह कथन प्रकट होता है।
विरोधाभास का नियमकहता है कि कोई भी वाक्य उसी समय सत्य नहीं हो सकता जब तक कि उसका निषेधन न हो जाए। "यह सेब पका हुआ है" और "यह सेब पका नहीं है"।
बहिष्कृत तीसरा कानूनकहता है कि प्रत्येक कथन के लिए केवल दो संभावनाएँ हैं: यह कथन या तो सत्य है या असत्य। कोई तीसरा नहीं है। "आज मुझे 5 मिलते हैं या मुझे नहीं मिलते।" या तो निर्णय या उसका निषेध सत्य है।
दोहरे निषेध का नियम।किसी कथन को नकारना उस कथन की पुष्टि करने के समान है।
"यह सच नहीं है कि 2*24"
नपुंसकता के नियम।तर्क के बीजगणित में, कोई घातांक और गुणांक नहीं होते हैं। समान "कारकों" का संयोजन उनमें से एक के बराबर है।
कम्यूटेटिविटी और एसोसिएटिविटी के नियम।संख्याओं के गुणन और योग के लिए संयोजन और वियोजन एक ही नाम के संकेतों के अनुरूप हैं।
संख्याओं के जोड़ और गुणा के विपरीत, वितरण के संबंध में तार्किक जोड़ और गुणा बराबर हैं: न केवल एक संयोजन के संबंध में एक संयोजन वितरण है, बल्कि एक संयोजन के संबंध में एक संयोजन भी वितरणात्मक है।
मॉर्गन के नियमों का अर्थ(अगस्त डी मॉर्गन (1806-1871) - स्कॉटिश गणितज्ञ और तर्कशास्त्री) को संक्षिप्त मौखिक योगों में व्यक्त किया जा सकता है:
- एक तार्किक उत्पाद का निषेध कारकों के निषेध के तार्किक योग के बराबर है।
- तार्किक योग का निषेधन, पदों के निषेध के तार्किक गुणनफल के बराबर होता है।
1. स्थापित करें कि क्या कथन समकक्ष हैं।
3. सत्य सारणियों का प्रयोग करते हुए अवशोषण तथा चिपकाने के नियमों को सिद्ध कीजिए।
I. नई सामग्री प्रस्तुत करना।
आप तर्क के नियमों को सिद्ध कर सकते हैं:
आइए हम समानता का उपयोग करके गोंद और अवशोषण के नियमों को साबित करें:
पी। व्यावहारिक भाग
1. सूत्रों का सरलीकरण।
उदाहरण 1। सूत्र को सरल बनाएं (ए + बी) * (ए + सी)
2. परिवर्तन "अवशोषण" और "ग्लूइंग"
उदाहरण २। व्यंजक A + A * B . को सरल कीजिए
समाधान। ए + ए * बी ए (1 + बी) ए - अवशोषण
उदाहरण 3. व्यंजक A * B + A * को सरल कीजिए
समाधान . ए * बी + ए * ए (बी +) ए - ग्लूइंग
3. किसी भी सूत्र को रूपांतरित किया जा सकता है ताकि जटिल कथनों का कोई निषेध न हो - सभी निषेध केवल सरल कथनों पर लागू होंगे।
उदाहरण 4. सूत्र को रूपांतरित करें ताकि जटिल कथनों का कोई खंडन न हो।
4. किसी भी सूत्र को समान रूप से रूपांतरित किया जा सकता है ताकि वह उपयोग न करे:
उदाहरण 5. सूत्र को रूपांतरित करें ताकि यह तार्किक जोड़ चिह्नों का उपयोग न करे।
समाधान। आइए दोहरे निषेध के नियम का उपयोग करें, और फिर डी मॉर्गन सूत्र का उपयोग करें।
आउटपुट: तर्क बीजगणित में, किसी भी तार्किक कार्य को अन्य तार्किक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन कम से कम 2 संचालन होने चाहिए, और उनमें से एक को नकारा जाना चाहिए।
सभी संक्रियाओं को संयोजन और निषेध, वियोजन और निषेध, निहितार्थ और निषेध के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। शेष संक्रियाओं को तुल्यता और निषेध द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अभ्यास 1।कथन की सच्चाई स्थापित करें।
असाइनमेंट 2स्थापित करें कि क्या एक बयान एक तनातनी है?
कार्य 3.स्थापित करें कि क्या कथन समकक्ष हैं।
1. तार्किक जोड़ को छोड़कर, इन कथनों के सूत्र समतुल्य में परिवर्तित किए जाते हैं:
2. इन कथनों के सूत्र समतुल्य में बदलने के लिए, तार्किक गुणन को बाहर करें।
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तार्किक सूत्रों के समतुल्य परिवर्तनों का वही उद्देश्य होता है जो साधारण बीजगणित में सूत्रों के परिवर्तन का होता है। वे तर्क के बीजगणित के मूल नियमों का उपयोग करके सूत्रों को सरल बनाने या उन्हें एक निश्चित रूप में लाने का काम करते हैं।
सूत्र के सरलीकरण के तहत,जिसमें निहितार्थ और तुल्यता संचालन शामिल नहीं है, एक समान परिवर्तन को समझें जो एक सूत्र की ओर ले जाता है जिसमें या तो मूल की तुलना में, संयोजन और वियोजन संचालन की एक छोटी संख्या होती है और इसमें गैर-प्राथमिक सूत्रों की उपेक्षा नहीं होती है, या इसमें एक छोटा होता है चर की घटनाओं की संख्या।
तार्किक सूत्रों के कुछ परिवर्तन सामान्य बीजगणित में सूत्रों के परिवर्तन के समान होते हैं (कोष्ठकों के बाहर सामान्य कारक लेना, विस्थापन और संयोजन कानूनों का उपयोग करना, आदि), जबकि अन्य परिवर्तन उन गुणों पर आधारित होते हैं जो साधारण बीजगणित के संचालन में नहीं होते हैं। (संयोजन के लिए वितरण कानून का उपयोग करना, अवशोषण के नियम, ग्लूइंग, डी मॉर्गन, आदि)।
कानून
शब्दावली
1. पहचान का नियम
प्रत्येक कथन अपने आप में समान है।
2. बहिष्कृत तीसरे का कानून
कथन सत्य या असत्य हो सकता है, कोई तीसरा उपाय नहीं है। नतीजतन, कथन के तार्किक जोड़ और इसके निषेध का परिणाम हमेशा "सत्य" मान लेता है।
3. संगति का नियम
एक कथन एक ही समय में सत्य और असत्य दोनों नहीं हो सकता। यदि कथन X सत्य है, तो NOT X का निषेध असत्य होना चाहिए। इसलिए, किसी कथन का तार्किक गुणनफल और उसका निषेध असत्य होना चाहिए।
4. दोहरे निषेध का नियम
यदि हम एक निश्चित कथन को दो बार अस्वीकार करते हैं, तो परिणाम मूल कथन होता है।
5. स्थानापन्न (कम्यूटेटिव) कानून
6. संयोजन (सहयोगी) कानून
समान संकेतों के साथ, कोष्ठकों को मनमाने ढंग से रखा जा सकता है या पूरी तरह से छोड़ा जा सकता है।
5. वितरण (वितरण) कानून
(एक्स / \ वाई) \ / जेड = (एक्स / \ जेड) \ / (वाई / \ जेड)
(एक्स / \ वाई) \ / जेड = (एक्स \ / जेड) / \ (वाई \ / जेड)
एक सामान्य कथन को कोष्ठक में रखने के नियम को परिभाषित करता है।
7. सामान्य व्युत्क्रम का नियम डी मॉर्गन का नियम
सामान्य उलटा कानून।
8. तुल्यता का नियम (निष्क्रियता)
लैटिन शब्दों से idem - वही और शक्तिशाली - मजबूत
विषय 3. गणितीय तर्क की नींव 1. तार्किक अभिव्यक्ति और तार्किक संचालन।
2. सत्य तालिकाओं और तार्किक कार्यों का निर्माण।
3. तर्क के नियम और तार्किक भावों का परिवर्तन।
प्रयोगशाला कार्य संख्या 3. गणितीय तर्क की नींव।
3. तर्क के नियम और तार्किक भावों के परिवर्तन के नियम
दोहरे निषेध का नियम (दोहरा निषेध निषेध को छोड़कर):
ए = = Ú
निष्क्रियता का नियम (लैटिन शब्द idem से - वही और शक्तिशाली - मजबूत; शाब्दिक - समकक्ष):
तार्किक जोड़ के लिए: ए ए = ए ;
तार्किक गुणन के लिए: ए और ए = ए .
कानून का मतलब कोई प्रतिपादक नहीं है।
तार्किक गुणन के लिए: ए और 1 = ए, ए और 0 = 0 .
ए और = 0 .
एक ही समय में परस्पर विरोधी कथनों का सत्य होना असंभव है।
ए = 1 .
एक ही विषय के बारे में दो परस्पर विरोधी कथनों में से एक हमेशा सत्य होता है, और दूसरा असत्य होता है, तीसरा नहीं दिया जाता है।
तार्किक गुणन के लिए: ए और (ए Ú बी) = ए .
तर्क के नियमों का ज्ञान आपको तर्क और साक्ष्य की शुद्धता की जांच करने की अनुमति देता है। कानूनों के आधार पर, आप जटिल तार्किक व्यंजकों को सरल बना सकते हैं। एक जटिल तार्किक फ़ंक्शन को एक सरल, लेकिन इसके बराबर के साथ बदलने की इस प्रक्रिया को फ़ंक्शन न्यूनीकरण कहा जाता है।
तार्किक सूत्रों के कुछ परिवर्तन सामान्य बीजगणित में सूत्रों के परिवर्तन के समान होते हैं (कोष्ठकों के बाहर सामान्य कारक लेना, विस्थापन और संयोजन कानूनों का उपयोग करना, आदि), अन्य उन गुणों पर आधारित होते हैं जो साधारण बीजगणित के संचालन में नहीं होते हैं (उपयोग करते हुए) संयोजन के लिए वितरण कानून, कानून अवशोषण, ग्लूइंग, डी मॉर्गन, आदि)।
तर्क के नियमों का उल्लंघन तार्किक त्रुटियों और उनसे उत्पन्न होने वाले अंतर्विरोधों को जन्म देता है।
उदाहरण 1। सूत्र को सरल कीजिए (ए बी) और (ए Ú सी) .
इस प्रकार, हमने वितरण के नियम को सिद्ध कर दिया है।
किसी भी सूत्र को रूपांतरित किया जा सकता है ताकि जटिल कथनों का कोई निषेध न हो - सभी निषेध केवल सरल कथनों पर लागू होंगे।
उदाहरण २। व्यंजकों को सरल कीजिए ताकि परिणामी सूत्रों में सम्मिश्र व्यंजकों का निषेधन न हो।
समाधान:
असतत गणित: गणितीय तर्क
निष्क्रियता का कानून (पहचान)
कम्यूटेटिविटी कानून
ए बी = बी ए
संबद्धता कानून
ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी
ए (बी सी) = (ए बी) सी
वितरण कानून
विच्छेदन के संबंध में एक संयोजन का वितरण
ए (बी + सी) = ए बी + ए सी
एक संयोजन के संबंध में एक वियोजन का वितरण
ए + बी सी = (ए + बी) (ए + सी)
दोहरा निषेध कानून
डी मॉर्गन के नियम
अवशोषण कानून
ए + ए बी = ए
ए (ए + बी) = ए
तार्किक स्थिरांक 0 और 1 के साथ क्रियाओं को परिभाषित करने वाले कानून
| ए + 0 = ए ए 0 = 0 | ए + 1 = 1 ए 1 = ए |
| 1 = 0 |
|
बूलियन बीजगणित के अतिरिक्त नियम मूल नियमों के परिणाम हैं और तार्किक कार्यों के लेखन को सरल बनाने में बहुत उपयोगी हैं।
बंधन कानून
इस पहचान का प्रमाण वितरण के पहले नियम का उपयोग करके किया जाता है:
इस पहचान का प्रमाण वितरण के दूसरे नियम का उपयोग करके किया जाता है:
ब्लेक-पोरेत्स्की कानून
तार्किक स्थिरांक, निष्क्रियता और ग्लूइंग के साथ कार्रवाई के नियमों को लागू करते हुए, इस पहचान को इस प्रकार साबित किया जा सकता है:
तार्किक अभिव्यक्ति के दृढ़ संकल्प का नियम
तार्किक स्थिरांक, वितरण, निष्क्रियता और ग्लूइंग के साथ काम करने के नियमों का लगातार उपयोग करके इस पहचान को साबित किया जा सकता है:
कार्य।
निम्नलिखित कार्यों के एसडीएनएफ को सरल बनाएं:
1. (ए बी) सी
2. (ए बी) सी
हम फ़ंक्शन को पूर्ण रूप से निरूपित करते हैं और तर्क के बीजगणित के नियमों का उपयोग करके इसे सरल बनाते हैं:
3.
हम फ़ंक्शन को पूर्ण रूप से निरूपित करते हैं और तर्क के बीजगणित के नियमों का उपयोग करके इसे सरल बनाते हैं:
एसडीएनएफ = 
कोई और सरलीकरण संभव नहीं है।
4. 
हम फ़ंक्शन को पूर्ण रूप से निरूपित करते हैं और तर्क के बीजगणित के नियमों का उपयोग करके इसे सरल बनाते हैं:
एसडीएनएफ =
5. 
हम फ़ंक्शन को पूर्ण रूप से निरूपित करते हैं और तर्क के बीजगणित के नियमों का उपयोग करके इसे सरल बनाते हैं:
तार्किक कार्यों को क्विन-मैकक्लेस्की पद्धति का उपयोग करके कम किया जा सकता है, जिसमें चार चरण होते हैं:
सच्चे समुच्चयों के द्विआधारी समकक्ष इस प्रकार हैं:
| 1 | 0001 |
| 3 | 0011 |
| 5 | 0101 |
| 7 | 0111 |
| 11 | 1011 |
| 13 | 1101 |
| 15 | 1111 |
हम बाइनरी सेट को टियर द्वारा व्यवस्थित करेंगे और जब तक संभव हो, ग्लूइंग करेंगे
| 0001 | 00-1 | 0-1 |
| 0011 | 0-01 | --11 |
| 0101 | -011 | -1-1 |
| 0111 | 0-11 | |
| 1101 | -101 | |
| 1011 | 01-1 | |
| 1111 | 11-1 | |
| -111 | ||
| 1-11 |
फिर हम क्विन की तालिका बनाते हैं:
| 0001 | 0011 | 0101 | 0111 | 1011 | 1101 | 1111 |
|
| 0--1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| --11 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
||
| -1-1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
हमारी तालिका में, सेट 0001 और 1011 को एकमात्र संभव तरीके से कवर किया गया है, इसलिए, उन्हें कवर करने वाले न्यूनतम अंतराल को कहा जाता है अनिवार्यऔर फॉर्म कोर कोटिंगजबसे किसी भी कवरेज में शामिल होना चाहिए। तालिका में, संबंधित इकाइयों को रेखांकित किया गया है, अंतराल (0- -1, --11) न केवल कवरेज का मूल बनाते हैं, बल्कि पूरे क्विन टेबल को भी कवर करते हैं।
इस प्रकार, हमने इस रूप में जांच किए गए फ़ंक्शन का न्यूनतम रूप प्राप्त किया है:
एमडीएनएफ = (0 - - 1, - - 1 1) = 
आइए कुछ उदाहरण देखें।
कार्य।
1. MDNF फ़ंक्शन खोजेंएफ1 =
f1
| x1 x2 x3 x4 | |
| 0 0 0 0 | 0 |
| 0 0 0 1 | 1 |
| 0 0 1 0 | 1 |
| 0 0 1 1 | 1 |
| 0 1 0 0 | 1 |
| 0 1 0 1 | 0 |
| 0 1 1 0 | 0 |
| 0 1 1 1 | 1 |
| 1 0 0 0 | 0 |
| 1 0 0 1 | 1 |
| 1 0 1 0 | 1 |
| 1 0 1 1 | 1 |
| 1 1 0 0 | 0 |
| 1 1 0 1 | 1 |
| 1 1 1 0 | 0 |
| 1 1 1 1 | 1 |
अध्ययन के तहत फ़ंक्शन का सही DNF का रूप है:
| 0001 | 00-1 | -0-1 |
| 0010 | -001 | -01- |
| 0100 | 001- | --11 |
| 0011 | -010 | 1-1 |
| 1010 | 0-11 | |
| 1001 | -011 | |
| 0111 | 101- | |
| 1011 | 10-1 | |
| 1101 | 1-01 | |
| 1111 | -111 | |
| 1-11 | ||
| 11-1 |
हम क्विन टेबल बनाते हैं:
| 0001 | 0010 | 0100 | 0011 | 1010 | 1001 | 0111 | 1011 | 1101 | 1111 |
|
| 0100 | 1 | |||||||||
| -0-1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||
| -01- | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||
| --11 | 1 | 1 | 1 | 1 |
||||||
| 1--1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
आइए कवरेज के मूल को परिभाषित करें, जिसमें आवश्यक अंतराल शामिल होंगे:
(0100, -0-1, -01-, --11)। इस मामले में, कवरेज का मूल संपूर्ण तालिका को समग्र रूप से कवर करता है।
न्यूनतम विघटनकारी सामान्य रूप f1 है:
2. एमडीएनएफ फ़ंक्शन खोजें एफ 2( एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3), जो 0,2,3,6 और 7 सेट पर एकल मान लेता है।
आइए इसके लिए एक सत्य तालिका बनाएं एफ2
| x1 x2 x3 | F2 |
| 0 0 0 | 1 |
| 0 0 1 | 0 |
| 0 1 0 | 1 |
| 0 1 1 | 1 |
| 1 0 0 | 0 |
| 1 0 1 | 0 |
| 1 1 0 | 1 |
| 1 1 1 | 1 |
एसडीएनएफ =
आइए हम द्विआधारी सेट को स्तरों द्वारा व्यवस्थित करें और ग्लूइंग करें:
| 000 | 0-0 | --0 |
| 010 | -00 | |
| 100 | -10 | |
| 110 | 1-0 | |
| 111 | 11- |
साहित्य
